Sommes infinies 1+2+4+8+16... = -1

Sommes entières infinies — Riemann et Casimir

Je décou­vre cette récente vidéo sur Youtube — mais rien de tout cela n’est neuf : cer­taines sommes infinies d’entiers non nuls, voire tous posi­tifs, se lais­sent inter­préter comme ayant une limite. 

On trou­vera quelques com­plé­ments bien­venus sur ce très bon arti­cle[1] , per­me­t­tant de com­pren­dre le rap­port à la con­jec­ture de Rie­mann et à l’effet Casimir.

Et tout ça en Français. L’est po belle la vie (de l’esprit) ?

NOTES

  1. Les com­men­taires sont intéres­sants, en ce qu’ils man­i­fes­tent large­ment une des deux réac­tions décrites par Mick­aël Lau­nay : résul­tat impos­si­ble, erreur de raison­nement, etc. Très prob­a­ble­ment aurais-je eu ce genre d’attitude il y a dix ans. Aujourd’hui, je me demande plutôt d’où vient la cohérence math­é­ma­tique de ce genre de preuves formelles. Elles sem­blent relever d’une autre axioma­tique, mais il est intéres­sant de voire, ici, qu’elles recou­vrent soit des opéra­teurs linéaire atyp­iques de pas­sage à la lim­ite (com­pat­i­bles avec l’opérateur usuel défi­ni sur les séries con­ver­gente), soit — de façon non con­tra­dic­toire — une approx­i­ma­tion formelle d’un opéra­teur de dis­tance entre série et inté­grale. Que la fonc­tion de Rie­mann vienne y point­er son bout de vilaine promesse pour math dog mil­lion­aire to be est assez touchant et beau. ^

Image : Somme infinie extraite de Adding Past infin­i­ty. La somme vaut -1. © Minute Physics 21/08/2011, que l’on pour­ra égale­ment con­sul­ter sur le sujet.

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